今天跟大家分享一个关于实数定义的问题(实数的定义和分类)。以下是这个问题的总结。让我们来看看。
实数的定义是什么？
实数是有理数和无理数的统称。数学上，实数定义为数轴上对应点的个数。实数可以直观地看作是有限小数和无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但是实数的整体不能只用枚举来描述。实数和虚数一起构成一个复数。
自然
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实数集合R接近于加减乘除四则运算(除数不为零)，即任意两个实数(除数不为零)的和、差、积、商仍是实数。
整齐的
实数集合是有序的，即任意两个实数A和B必须满足以下三个关系中的一个:ab，a=b，ab。
-传递性
实数是传递的，即如果ab，bc，就有ac。
阿基米德性质
实数具有阿基米德性质，即对于任意a，b∈R，若ba0有正整数n，设nab。
集中（注意力）
实数集R是稠密的，即两个不相等的实数之间一定有另一个实数，既有有理数也有无理数。
实数的定义
学习实数的基本理论极其重要。它是分析数学的基础。如果直接承认实数连续统(见著名的实数集R的切割命题)，是不尽如人意的，因为它不是更基本的。基本上，我们应该从自然数和有理数中构造“实数”。
有两种经典的方法来定义或构造实数。一个来自戴德金，一个来自康托尔。我们会陆续讨论。
戴德金定义实数的基本思想是对有理数的集合进行整除或切割。一种方法是使用有理区间集来定义实数。这是一种流行的方式，但我后来注意到它不够严格。它把有理数的集合Q分为三类(不妨依次用集合A，C，B来表示)。然后它说集合C包含一个唯一有理数，或者它是空。当c为空时，得出这代表一个唯一的无理数。另一条路也有几乎相同的想法。它“切割”有理数集合Q，即把Q分成两个非空的集合A和B，其中A中的任意元素小于B中的任意元素，那么一下子有四种可能:
1)A中有最大的元素，B中有最小的元素..
2)A中有最大的元素，B中没有最小的元素..
3)A中没有最大元素，但B中有最小元素..
4)A中没有最大元素，b中也没有最小元素。
但第一种情况是不可能的。因为你可以取A中最大的和B中最小的平均值，介于两者之间，那么这个值属于A还是B呢？矛盾2和矛盾3很容易看出，也有可能。至于第四种情况，也被证明是可能的。我们将在未来证明这一点。看，这就是不合理的分界线。
康托尔对实数的定义是基于有理数的基本序列。它面临并不得不解决这样一个问题:一个有自身“凝聚”趋势的有理数序列是否收敛于一个数？发现有理数的一些基本序列并不存在于有理数的范围内。这一事实揭示了有理数域的局限性:它对于极限运算是不封闭的。柯西曾经推测这样的级数会收敛到一个无理数。但他并没有解决极限的存在与无理数定义的逻辑循环之间的矛盾。
什么是实数？
实数是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为数轴上一点对应的数。实数可以直观地看作是有限小数与无限小数、实数与数轴上的点一一对应，但实数的整体不能只用枚举来描述。
实数可分为有理数和无理数，或代数和超越数。实数集通常用黑色字母R表示，R代表n维实数空。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
所有实数的集合可以称为实数系或实数连续统。任何完备的阿基米德有序域都可以称为实数系。在保序同构的意义上是唯一的，常用R来表示，因为R是定义算术运算的算术系统，所以称为实数系统。
实数可以用来度量连续的量。理论上，任何实数都可以表示为一个无限小数，小数点右边是一个无穷级数(循环或非循环)。实际中，实数往往近似为一个有限小数(小数点后保留n位，n为正整数)。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，所以实数往往用浮点数来表示。
实数是什么概念？
实数是有理数和无理数的统称。数学上，实数定义为和轴上的实数，是有理数和无理数的统称。数学上，实数定义为数轴上一点对应的数。实数可以直观地看作是有限小数和无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但是实数的整体不能只用枚举来描述。实数和虚数一起构成一个复数。
实数可分为有理数和无理数，或代数和超越数。实数集通常用黑色字母R表示，R代表n维实数空。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
所有实数的集合可以称为实数系或实数连续统。任何完备的阿基米德有序域都可以称为实数系。在保序同构的意义上是唯一的，常用R来表示，因为R是定义算术运算的算术系统，所以称为实数系统。
实数可以用来度量连续的量。理论上，任何实数都可以表示为一个无限小数，小数点右边是一个无穷级数(循环或非循环)。实际中，实数往往近似为一个有限小数(小数点后保留n位，n为正整数)。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，所以实数往往用浮点数来表示。
扩展数据
公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家认识到有理数不能满足几何学的需要，但毕达哥拉斯本人并不承认无理数的存在。直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分是在实数的基础上发展起来的。1871年，德国数学家康托尔首次提出了实数的严格定义。
根据日常经验，有理数的集合在数轴上似乎是“密密麻麻”的，所以古人一直认为有理数可以满足测量的实际需要。以边长为1厘米的正方形为例。它的对角线有多长？在规定的精度下(例如误差小于0.001厘米)，精确的测量结果(例如1.414厘米)总是可以用有理数来表示。但是古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，这条对角线的长度无法用有理数完整准确地表示出来，这彻底打击了他们的数学思维。他们认为:
任意两条线段的比值都可以用自然数的比值来表示。
正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物都是数”的信念，这里的数指的是自然数(1，2，3，...)，而所有的正有理数都是通过自然数的比值得到的。有理数集合存在“缺口”的事实，对当时很多数学家来说是一个极大的打击(见第一次数学危机)。
从古希腊到17世纪，数学家们逐渐接受了无理数的存在，并将其视为与有理数相等的数。后来引入虚数的概念以示区别，意为“实数”。当时，虽然虚数出现并被广泛使用，但实数的严格定义仍然是个难题。直到明确了函数、极限、收敛等概念，19世纪末的戴德金、康托尔等人才严格处理实数。
资源实数_百度百科
实数的定义？
实数可分为有理数和无理数，或代数数和超越数，或正实数，负实数和零。如果你满意，请采纳。
实数是什么意思？
数学上，实数定义为数轴上一点对应的数。实数可以直观地看作是有限小数和无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
什么是实数？
实数是有理数和无理数的统称。数学上，实数定义为数轴上一点对应的数。实数可以直观地看作是有限小数和无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但是实数的整体不能只用枚举来描述。实数和虚数一起构成一个复数。
实数的性质
(1)闭:实数集对于加减乘除四则运算(除数不为零)是闭的，即任意两个实数(除数不为零)的和、差、积、商仍然是实数。
(2)有序性:实数集合是有序的，即任意两个实数必须满足且仅满足以下三个关系ab之一。
(3)传递性:实数大小是传递的，即如果ad，bc，有ac。
(4)对应数轴:任意实数对应数轴上唯一的一点；相反，数轴上的每个点都唯一地代表一个实数。所以实数集和数轴上的点是一一对应的。
(5)稠密性:实数的集合是稠密的，即在两个不相等的实数之间一定有另一个实数，既有有理数也有无理数。
实数定义的介绍到此结束。感谢您花时间阅读本网站的内容。别忘了搜索这个网站，获取更多关于实数的定义、分类和定义的信息。
