二元二次方程的解法（二元二次方程是几年级学的）

今天给大家分享关于二元二次方程的解法问题（你是几年级学的二元二次方程）。以下是这个问题的总结。让我们来看看。

二元二次方程的解法？

1.降阶法:所谓降阶法就是减少未知数的个数，从而简化方程。

2.消元法:其实在一元线性方程的第一类方程中已经尝试过消元法，消元路径一般有代换消元和加减消元；首先，观察原始方程的形式，决定是先加倍还是先消去。通过这种方法，变形降低了原始方程的难度；如果它可以通过六种特殊类型的方程来求解，那就很好。如果不能，可以简化或消除。有时，还原法和消元法之间没有明显的界限，它们需要携手合作。

扩展数据:

二元二次方程（组）是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程（组），一般采用代入法求解，即将方程组中的二元一次方程用包含一个未知数的代数表达式表示另一个未知数，然后代入二元二次方程。

这样，“二元”就变成了“一元”，从而得到一元二次方程。此时，方程的解由这个一元二次方程的根决定。

2元二次方程的求解迫在眉睫。

一周知识概述

1.二元二次方程

包含两个未知数和一个最高次数为2的项的积分方程称为二元二次方程。

关于X和Y的二元二次方程的一般形式为AX2+BXY+CY2+DX+EY+F = 0（A、B、C中至少有一个不为0），其中AX2、BXY、CY2称为二次项，A、B、C分别为二次项的系数；Dx和ey称为线性项，D和E分别是线性项的系数。f称为常数项。

比如xy = 1，x2-y = 0，x-y-2xy =-3都是二元二次方程；X-Y = 1和X2Y = 0不是二元二次方程。

2.二元二次方程

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，称为二元二次方程组。

3.解二元二次方程的思想和方法。

解二元二次方程的基本思想是“转化”，即把对偶转化为一元，把第二个转化为一元。转化的基本方法是“消除”和“转化”。因此，掌握一些消元化简的方法和技巧是解二元二次方程的关键。

两个。重点、难点和疑点的突破

1.由二元一次方程和二元二次方程组成的方程组（简称“21”型方程组）的解。

（1）替代消除法（即替代法）

代入法是求解“21”型方程组的通用方法，具体步骤如下:

首先对方程组中的二元线性方程进行变形，用包含一个未知数的代数表达式表示另一个未知数。

（2）将得到的代数表达式代入另一个方程，转化为二次方程或线性方程；

（3）求解得到的一元二次方程或一元一次方程，求出未知量的值；

（4）将未知量的值代入第一步得到的关系式，求出另一个未知量的值；

⑤写出方程的解。

（2）根与系数关系定理的逆方法。

根据一个二次方程的根与系数的关系，X和Y可以看作一个二次方程的两个根z2-AZ+B = 0，求解这个方程得到的z1和z2的值就是X和Y的值，当x1=z1，Y1 = Z2，x2=z2，y2=z1时，原方程的解就是两组“对称解”。

2.“2.1”型二元二次方程解法辨析。

“2.1”型二元二次方程有三种实数解:一解、二解和无解。将一元线性方程代入二元二次方程，消去一个未知数得到一元二次方程。根据根的判别式，解可能是两个不相等的实数解、两个相等的实数解或没有实数解，所以这类二元二次方程的解有三个对应的解。

3.解“呃呃呃”型方程

解“222”型方程的基本思想仍然是“归约”，而归约的方法是“归约”和“消元”，其一般解法是:

（1）当方程组中只有一个方程可以分解成两个二元一次方程组时，分解得到的两个二元一次方程组可以与原方程组中的另一个二元二次方程组组合成两个“二一”型方程组，得到的解都是原方程组的解。

（2）当方程中的两个二元二次方程可以分解为两个二元一次方程时，分解第一个二元二次方程得到的每个二元一次方程和分解第二个二元二次方程得到的每个二元一次方程可以构成一个方程，可以得到四个二元一次方程。求解这四个二元线性方程组时，得到的解都是原方程组。

4.“22”型方程的解。

由同一个二元二次方程组成的两个二元一次方程一般不能构成方程。

值得注意的是，“21”型方程最多有两个解；“222”型方程最多有四个解。解方程时，不要省略或添加解。

第三，解题方法和技巧。

1.“21”型二元二次方程的解法。

示例1，求解方程

分析:

这个方程组包含一个二元线性方程，因此可以用替换法求解，这是第一个解；如果①转化为（X+y）2 = 4，得到X+y = 2或X+y =-2，则原方程组可转化为两个二元线性方程组。求解这两个二元线性方程组得到的解就是原方程组的解，这是第二个解。

解决方案1:

X = 2y+5③来自②。

将③代入①得到（2y+5）2+2y（2y+5）+y2 = 4。

整理，3y2+10y+7 = 0。

点评:通常情况下，解“2.1”型二元二次方程常采用前一种解法，即先加消元，再分解归约（或用公式法求解）。本例中的第二种解法是特殊解法，仅适用于某些特殊形式的方程。

分钟

仔细观察这个方程组表明，这个方程组不仅可以通过代入法求解，而且可以通过构造一个有一个根的二次方程求解。

解决方案1:

Y = 8-x.③从①开始。

将③代入②得到x2-8x+12 = 0。

X1 = 2，X2 = 6。

将x1=2代入③得到Y1 = 6。

将x1=6代入③得到Y2 = 2。

解决方案2:

根据维耶塔定理，X和Y是一个二次方程Z2-8z+12 = 0的两个根。通过解这个方程，我们可以得到。

z1=2，z2=6。

理解:“换元法”是求解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的通用方法，应用范围很广；维耶塔逆定理法虽然简单方便，但只适用于以两个数的和与积形式给出的方程，适用范围比较小。

2.只有一个方程可以分解成降阶方程的解。

示例3，求解方程

分析:

观察方程②，将（x-y）作为一个整体，方程②可视为关于（x-y）的一元二次方程，并可分解为（X-y-3）（X-y+1）= 0，由此可得到两个二元线性方程X-y-3 = 0和X-y+1 = 0。

这两个二元线性方程和方程①分别构成两组方程:

通过分别求解这两个方程，可以得到原方程的解。

②（x-y-3）（x-y+1）= 0。

X-y-3 = 0或X-y+1 = 0。

∴原始方程可以简化为两个方程:

3.两个方程都可以分解的降阶方程的解。

示例4，求解方程

分析:

等式①右边为零，左边可以因式分解，从而达到降阶的目的。等式②左边完全平坦，右边为1，两边的平方也可以达到降阶的目的。

（x-4y）（x+y）= 0从①开始。

∴ x-4y = 0或x+y = 0。

②（x+2y）2 = 1。

∴ x+2y = 1或x+2y =-1。

原方程可简化为以下四个方程。

点评:不要把同一个二元二次方程分解出的两个二元一次方程分成方程，这样会导致增加解的问题，同时要注意防止漏解的现象。

4.给出解决方案并确定字母系数。

例5，方程K的值是多少？

①如果有实数解，就求解；

（2）有两个实数解；

（3）没有实数解。

分析:

知识点:二元二次方程解和根的判别式。首先用代入法消去未知数y，得到关于x的一元二次方程，然后根据根的判别式进行讨论。

将①代入②得到k2x 2+（2k-4）x+1 = 0③。

△=（2k-4）2-4×k2×1 =-16（k-1）。

感受:这种题型的解题规律一般是将方程组转化为二次方程，用△ = 0、△》0和△

解题易错点是一元二次方程中x2的系数k2不等于0，容易被忽略。

二元二次方程的解

1.换元法:由一个二次方程和一个一次方程组成的方程通常用换元法求解，这是消元化简的基本方法。

2.因式分解法:当二元二次方程中至少有一个方程可以分解时，可以通过消元降阶求解。

3.匹配法:通过连续变形，将公式或公式的一部分转化为完全平坦的方式或几个完全平坦的方式的总和。

4.维埃塔定理法:通过维埃塔定理的逆定理，我们可以利用两个数的和积关系构造一元二次方程。

5.消除常数项的方法:当方程的两个方程都缺少一项时，可以通过消除常数项来解决。

如何计算二元二次方程

含有两个未知数的积分方程，其中含有未知数的项的最高次数为2，称为二元二次方程。一般公式为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。（A，B，C，D，E，F都是常数，且至少有一个不为零；当b为零时，a和d以及c和e分别不全为零；当a=0时，C和E中至少有一个不等于0，当c=0时，A和D中至少有一个不等于0）。

中文名二元二次方程

表达式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。

求解“降阶”和“消元”的因式分解法

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两个例子

3种解决方案

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由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组通常用换元法求解，即方程组中的二元一次方程用以下方法求解。

二元二次方程的应用

一个未知数的代数表达式表示另一个未知数，然后将其代入二元二次方程，将“二元”变为“一元”，得到一元二次方程。此时，方程的解由这个一元二次方程的根决定。比如当时因为一元二次方程有两个相等的实根，所以这个方程组有相同的两组实解……等等。

两个例子

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解法:2x+y ^ 2+3xy+6x+2y+12 = 0…①，

x ^ 2+4y ^ 2+4xy+x+y+15 = 0...②.

提示:解方程的基本思想是消去和归约。就其消元而言，任何给定的①和②都很难用一个变量直接表示另一个变量（即用关于X的代数表达式表示Y或用Y的代数表达式表示X）。问题的关键在于二元二次项3xy和4xy，所以首先要消除二元二次项。②*3-①*4，得到一个新的方程。那么，利用匹配法，X和Y的公式具有以下形式:A（X+I）2+B（Y+J）2+C = 0所以一个变量可以用另一个变量表示，但它涉及平方根，成为一个不合理的方程来求解，这就更复杂了。就简化而言，可以使用因式分解（包括交叉乘法的推广:双交叉乘法），难度较大。你也可以使用功能分析。在这里，它只是一个轻推。一般来说，有三种方法:代数方程解法、因式分解法和应用函数法。

3种解决方案

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求解二元二次方程的基本思想是“化归”，即通过“化归”和“消元”，将方程转化为一元二次方程或二元一次方程。由于这类方程形式复杂、求解灵活、技巧性强，因此在求解这类方程时需要仔细分析问题中各方程的结构特点，选择更适合的方法。

①有两个相等的实数解。

（2）有两组不等实数解；

（3）没有实数解。解:将②代入①得到二次方程③的判别式。

（4）当a2时，方程③有两个不相等的实根，所以原方程有两个不同的实解。

（5）当a=2时，方程③有两个相等的实根，所以原方程有相同的两组实解。

（6）当a2时，方程③没有实根，所以原方程没有实解。