今天来给大家分享一下关于数列前n项和公式(数列前n项和公式推导)的问题,以下是对此问题的归纳整理,让我们一起来看看吧。
一、数列前n项和公式是什么?
通常所说的前n项和的公式包括等差数列和等比数列等。公式如下:
等差数列{an}的通项公式为:an=a1+(n-1)d。前n项和公式为:Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。注意: 以上n均属于正整数。
等比数列前n项和公式:
若数列{an}是公比为q的等比数列,则它的前n项和公式是
不规则的数列或者规律不明显的数列需要运用多种数学方法,包括归纳法,错位相减法等等。
·关于数列:数列(sequenceofnumber)是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项,通常用an表示。
二、前N项和公式
等差数列前N项和公式:
①Sn=n*a1+n(n-1)d/2
②Sn=n(a1+an)/2
Sn代表项数之和,n代表项数,a1代表数列的第一项,an代表数列的最后一项,d代表数列的公差。
性质:
⑴数列为等差数列的重要条件是:数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数).
⑵在等差数列中,当项数为2n (n∈ N+)时,S偶-S奇 = nd,S奇÷S偶=an÷a(n+1) ;当项数为(2n-1)(n∈ N+)时,S奇—S偶=a中 ,S奇÷S偶 =n÷(n-1).
⑶若数列为等差数列,则S n,S2n -Sn ,S3n -S 2n,…仍然成等差数列,公差为k^2d .
(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别是Sn和Tn,则am/bm=S2m-1/T2m-1.
⑸在等差数列中,S = a,S = b (n>m),则S = (a-b).
2. 等比数列前N项和公式:
Sn代表项数之和,n代表项数,a1代表数列的第一项,an代表数列的最后一项,q代表数列的公比。
性质:
①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则aman=apaq;
②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列;
③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am×an=(aq)^2;
④ 若G是a、b的等比中项,则G2=ab(G ≠ 0);
⑤在等比数列中,首项a1与公比q都不为零.
⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列且公比为qk+1
⑦当数列{an}使各项都为正数的等比数列,数列{lgan}是lgq的等差数列。
三、数列前n项和公式
数列前n项和公式如下:
前n项和公式是Sn=na1(q=1)。数列公式前n项和是Sn=na1(q=1),如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,且每一项都不为0(常数),这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示,如果{cn},cn=an·bn,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,那么这个数列就叫做差比数列。
等差数列求和公式的特点
在等差数列中,若Sn为该数列的前n项和,S2n为该数列的前2n项和,S3n为该数列的前3n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也为等差数列。
等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。例如:1,3,5,7,9……(2n-1)。
等差数列{an}的通项公式为:an=a1+(n-1)d。前n项和公式为:Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2,注意以上整数。
四、怎样求数列的前n项和公式?
累加法求通项公式:an=an-1+f(n-1),an-1=an-2+f(n-2),……,a2=a1+f(1),按一定次序排列的一列数称为数列,而将数列{an} 的第n项用一个具体式子(含有参数n)表示出来,称作该数列的通项公式。
这正如函数的解析式一样,通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法,通常是由其递推公式经过若干变换得到。
前n项和倒序相加法推导前n项和公式:
Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)
∴Sn=n(a1+an)÷2。
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半:
Sn=n(a1+an)÷2=2na1+n(n-1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)
亦可得
a1=2sn÷n-an
an=2sn÷n-a1
有趣的是S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
以上就是小编对于数列前n项和公式(数列前n项和公式推导)问题和相关问题的解答了,数列前n项和公式(数列前n项和公式推导)的问题希望对你有用!