今天来给大家分享一下关于在实数范围内分解因式例题（在实数范围内分解因式例题a平方的问题，以下是对此问题的归纳整理，让我们一起来看看吧。
实数范围内的因式分解
因式分解是高中数学中的重要概念，在各种数学问题中都扮演着重要的角色。本文主要介绍在实数范围内的因式分解例题。
例题1
将 $x^3-5x^2+8x-4$ 分解因式。
解：
观察式子中各项系数的符号，发现只有常数项为负数，因此考虑用有理根定理和因式定理分解。
有理根定理告诉我们，如果一个整系数多项式的有理根为 $\frac{p}{q}$，则 $p$ 为常数项的因子， $q$ 为更高次项的因子。而因式定理告诉我们，如果一个整系数多项式 $f(x)$ 满足 $f(a)=0$，则 $x-a$ 为 $f(x)$ 的因式。
因此，我们可以先用有理根定理列出此题可能的有理根，根据上面的分解式来检查有理根的存在性。
由于常数项为 $-4$，因此可能的有理根为 $\pm 1, \pm 2, \pm 4$。将这些数代入原多项式，得到如下结果：
$$f(1)=-1$$$$f(-1)=0$$$$f(2)=8$$$$f(-2)=0$$$$f(4)=32$$$$f(-4)=0$$发现有理根 $x=-1$ 和 $x=-2$ 存在，因此用因式定理进行分解：
$$(x+1)(x^2-6x+4)$$接下来，需要判断二次部分是否还能再分解因式。考虑求解 $x^2-6x+4=0$ 的根，得到：
$$x_{1,2}=3\pm\sqrt{5}$$因此，二次部分可以化为 $(x-3+\sqrt{5})(x-3-\sqrt{5})$。综合起来，原多项式分解为：
$$(x+1)(x-3+\sqrt{5})(x-3-\sqrt{5})$$例题2
将 $x^4+1$ 分解因式。
解：
对于此类形如 $x^{2k}+a^{k}$ 的多项式，我们需要用到复数。因为复数的 $i$ 满足 $i^2=-1$，因此有如下恒等式：
$$x^2+1=(x+i)(x-i)$$考虑将 $x^{4}+1$ 分解为 $(x^2+1)^2-2x^2$，由此可以得到：
$$x^4+1=[(x^2+1)+\sqrt{2}x][(x^2+1)-\sqrt{2}x]$$进一步带入 $x^2+1$ 的分解式，得到：
$$x^4+1=[(x+i+\sqrt{2}x)(x-i+\sqrt{2}x)][(x+i-\sqrt{2}x)(x-i-\sqrt{2}x)]$$这样，原多项式就分解出来了。需要注意的是，虽然上面的分解式使用了复数 $i$，但是最终的结果仍然可以用实数表示。
例题3
将 $x^6-2x^4+5x^2-10$ 分解因式。
解：
观察多项式的系数，发现它们都是整数，因此可以尝试用因式定理进行分解。注意到 $x^6$ 和 $10$ 都是平方数的倍数，因此可以考虑配方：
$$x^6-2x^4+5x^2-10=(x^3-x^2\sqrt{2}+\sqrt{5}x-2\sqrt{2})(x^3+x^2\sqrt{2}+\sqrt{5}x+2\sqrt{2})$$需要注意的是，上面的分解式并不唯一。可以将一元二次方程 $x^2-2ax+b=0$ 的解写成 $a\pm\sqrt{a^2-b}$ 的形式，因此分解式也可以写成：
$$(x^3-(1+\sqrt{2})x^2+\sqrt{5}x-2\sqrt{2})(x^3-(1-\sqrt{2})x^2+\sqrt{5}x+2\sqrt{2})$$结果的多项式系数和前一种写法不同，但是乘积仍然与原多项式相同。
在实数范围内分解因式需要考虑多个概念和 *** ，如有理根定理、因式定理、复数等。有时需要进行配方或者通过转化把多项式化为更容易分解的形式。需要进行大量的练习，才能掌握因式分解的技巧和 *** 。
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